Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（2a，1），$\overrightarrow{n}$=（2b-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的坐标运算与共线定理，利用正弦定理与三角形的内角和定理，即可求出A的值；
（Ⅱ）利用正弦定理求出b+c的表达式，再根据角C的取值范围，即可求出b+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow{m}$=（2a，1），$\overrightarrow{n}$=（2b-c，cosC），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
∴2acosC-（2b-c）=0，
即2acosC=2b-c；
由正弦定理得，2sinAcosC=2sinB-sinC，
即2sinAcosC=2sin（A+C）-sinC，
∴2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-sinC，
化简得2cosAsinC=sinC，
即cosA=$\frac{1}{2}$；
又A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$，
设△ABC外接圆的直径为2r，
由正弦定理得2r=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，
∴b+c=2sinB+2sinC
=2[sin（120°-C）+sinC]
=4sin60°cos（60°-C）
=2$\sqrt{3}$cos（60°-C）；
∵-60°＜60°-C＜60°，
∴1≥cos（60°-C）＞$\frac{1}{2}$，
∴2$\sqrt{3}$≥2$\sqrt{3}$cos（60°-C）＞$\sqrt{3}$，
即b+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查正弦定理的应用以及辅助角公式的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示和共线定理的应用问题，是综合性题目．