Question

12．已知A、B、C是直线l上的三点，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$满足：$\overrightarrow{OA}-[{y+2f'（1）}]\overrightarrow{OB}+ln（x+1）\overrightarrow{OC}=0$．则函数y=f（x）的表达式f（x）=ln（x+1）．

Answer 1

分析 利用 A、B、C共线时，$\overrightarrow{OA}$=λ$\overrightarrow{OB}$+（1-λ）$\overrightarrow{OC}$，建立等式①，对①求导数得到f′（1）的值，再把此值代入①，求出f（x）的解析式．

解答 解：∵A、B、C是直线l上的三点，
向量$\overrightarrow{OA}$满足：$\overrightarrow{OA}$=[y+2f′（1）]$\overrightarrow{OB}$-ln（x+1）$\overrightarrow{OC}$，
∴y+2 f′（1）-ln（x+1）=1  ①，
对①求导数得 y′-$\frac{1}{x+1}$=0，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
代入①式得：f（x）=ln（x+1），
故答案为：f（x）=ln（x+1）．

点评 本题考查三个向量共线的性质以及求函数的导数的方法，考查运算能力，属于中档题．