Question

15．设△ABC的三内角、B、C对边分别是a、b、c，若bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式整理求得sin（B-$\frac{π}{6}$）的值，进而求得B．
（Ⅱ）利用余弦定理可求得bc的最大值，进而利用三角形面积公式确定最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC=a+c，
∴sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA+sinC，
∴sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC，整理得$\sqrt{3}$sinB-cosB=1，
即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴-$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{5π}{6}$，于是B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由余弦定理得2²=a²+c²-2accos60°≥2ac-ac=ac，
∴ac≤4，
从而S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤$\sqrt{3}$，当且仅当a=c时，等号成立．
∴当a=b=c时，三角形面积最大，最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，一般是借助这两个公式完成三角形边角问题的转化．