Question

6．已知函数f（x）=mlnx-$\frac{1}{2}$x²（m∈R）满足f'（1）=1．
（1）求m的值及函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$x²-3x+c）在[1，3]内有两个零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间．
（2）推出g（x）=2lnx-x²+3x-c，求出函数的导数判断好的单调性，利用函数g（x）在[1，3]有两个零点列出不等式组，然后求出c的范围．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）函数$f（x）=mlnx-\frac{1}{2}{x^2}$的定义域是（0，+∞）．          …（1分）
∵${f}^{′}（x）=\frac{m}{x}-$x，由f′（1）=1得m-1=1，
∴m=2，即$f′（x）=\frac{2}{x}-x=\frac{2-{x}^{2}}{x}$                 …（2分）
令f′（x）=0得：$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$（舍去）．         …（3分）
当$x∈（0，\sqrt{2}）$时，f′（x）＞0，∴f（x）在$（0，\sqrt{2}）$上是增函数；
当$x∈（\sqrt{2}，+∞）$时，f′（x）＜0，∴f（x）在$（\sqrt{2}，+∞）$上是减函数．…（5分）
∴函数f（x）的增区间是$（0，\sqrt{2}）$，减区间是$（\sqrt{2}，+∞）$．…（6分）
（2）由（1）可知$f（x）=2lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，
∴g（x）=2lnx-x²+3x-c，…（7分）
∴$g′（x）=\frac{2}{x}-2x+3=\frac{-2{x}^{2}+3x+2}{x}$．…（8分）
令g′（x）=0得：x=2或$x=-\frac{1}{2}$（舍去）．…（9分）
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，则g（x）在[1，2）上单调递增；
当x∈（2，3]时，g′（x）＜0，则g（x）在（2，3]上单调递减．…（10分）
又∵函数g（x）在[1，3]有两个零点等价于：$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（2）＞0\\ g（3）≤0\end{array}\right.$，…（12分）
∴$\left\{\begin{array}{l}2-c≤0\\ 2ln2+2-c＞0\\ 2ln3-c≤0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}c≥2\\ c＜2ln2+2\\ c≥2ln3\end{array}\right.⇒2ln3≤c＜2ln2+2$，…（13分）
∴实数c的取值范围是$[2ln3，_{\;}^{\;}2ln2+2）$．              …（14分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的求法考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．