Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a（x-1）}$（a≠0），且f（0）=1，若函数f（x）在（m，m+$\frac{1}{2}$）上单调递增，则m的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出a的值，得到函数的单调区间，从而得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：由f（0）=1，得：a=-1，
则f′（x）=$\frac{-（x-2{）e}^{x}}{{（x-1）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，得：x＜2且x≠1，
∴f（x）在（-∞，1），（1，2）递增，
∴m+$\frac{1}{2}$≤1或$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m+\frac{1}{2}≤2}\end{array}\right.$，
解得：m≤$\frac{1}{2}$或1≤m≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．