Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是60°．
（1）求|$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的定义，向量的平方即为模的平方，解方程可得|$\overrightarrow{b}$|=2；|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，解方程即可得到所求值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{13}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是60°，
可得|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=13，即为$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+4$\overrightarrow{b}$²=13，
即为1-4•1•|$\overrightarrow{b}$|•cos60°+4|$\overrightarrow{b}$|²=13，
解得|$\overrightarrow{b}$|=2；
|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{1+4×1×2×\frac{1}{2}+4×4}$=$\sqrt{21}$；
（2）由（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），可得
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，
即有λ$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{b}$²+（2λ-1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即为λ-8+（2λ-1）×1×2×$\frac{1}{2}$=0，
解得λ=3．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．