Question

13．下列结论正确的个数是3．
①对于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\\{\;}\end{array}\right.$，任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②函数f（x）=cos²αx-sin²αx的最小正周期为π是“α=1”的必要不充分条件；
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?（x²+2x）_min≥（ax）_maz在x∈[1，2]上恒成立；
④?m∈R，使f（x）=mx${\;}^{{m}^{2}+2m}$是幂函数，且在（0，+∞）上是单调递增．

Answer 1

分析 ①作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行判断，
②根据三角函数的倍角公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，
③根据不等式恒成立的性质转化为参数恒成立进行判断，
④根据幂函数的定义和性质进行判断求解求解即可．

解答 解：①f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，\;\;\;x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的图象如图所示
f（x）的最大值为1，最小值为-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正确；
②解：f（x）=cos²αx-sin²αx=cos2αx，
当α=1时，函数的周期T=$\frac{2π}{2α}$=π，∴必要性成立．
若f（x）=cos²αx-sin²αx=cos2αx的最小正周期为π，则T=$\frac{2π}{|2α|}$=π，
解得α=±1，∴充分性不成立．
故函数f（x）=cos²αx-sin²αx的最小正周期为π是“α=1”的必要不充分条件，故②正确，
③x²+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立?$\frac{{x}^{2}+2x}{x}$≥a，即（x+2）≥a，即（x+2）_min≥a在x∈[1，2]上恒成立；
故③错误，
④若f（x）=mx${\;}^{{m}^{2}+2m}$是幂函数，则m=1，则f（x）=x³，则在（0，+∞）上是单调递增，故④正确，
故正确的是①②④，
故答案为：3

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，充分条件和必要条件的判断以及函数最值的应用，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．