Question

4．已知数列{2ⁿ•a_n}的前n项和为$\frac{n（n-3）}{2}$，若存在n∈N^*，使得a_n≥m成立，则m的取值范围是$m≤\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 由$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$，利用递推关系可得：n≥2时，${a}_{n}=\frac{n-2}{{2}^{n}}$；n=1时，a₁=-1．通过作差可得数列的单调性．

解答 解：∵$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$，
∴n≥2时，$2{a}_{1}+{2}^{2}{a}_{2}$+…+2^n-1a_n-1=$\frac{（n-1）（n-4）}{2}$，
可得：2ⁿa_n=$\frac{n（n-3）}{2}$-$\frac{（n-1）（n-4）}{2}$=n-2，
∴${a}_{n}=\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
n=1时，a₁=-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{n-2}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
∵n=1时，a₁=-1，a₂=0．
n≥2时，a_n+1-a_n=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$，
∴n=2时，a₂＜a₃；n=3时，a₃=a₄；n≥4时，a_n+1＜a_n，
因此：a₁＜a₂＜a₃=a₄＞a₅＞…，
∴当n=3或4时，a_n取得最大值，a₃=a₄=$\frac{1}{8}$．
∵存在n∈N^*，使得a_n≥m成立，则m$≤\frac{1}{8}$．
故答案为：$m≤\frac{1}{8}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．