Question

14．已知各项均为正的等比数列{a_n}，若a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，则$\frac{{a}_{11}+{a}_{16}}{{a}_{10}+{a}_{15}}$等于（　　）

• A． 1-$\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 3+2$\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，可得$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=a₁+2a₂，化为q²-2q-1=0，解得q．则$\frac{{a}_{11}+{a}_{16}}{{a}_{10}+{a}_{15}}$=q．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁，$\frac{1}{2}$a₃，2a₂成等差数列，
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{3}$=a₁+2a₂，
∴${a}_{1}{q}^{2}$=a₁（1+2q），
化为q²-2q-1=0，
解得q=1+$\sqrt{2}$．
则$\frac{{a}_{11}+{a}_{16}}{{a}_{10}+{a}_{15}}$=$\frac{{q（a}_{10}+{a}_{15}）}{{a}_{10}+{a}_{15}}$=q=1+$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．