Question

19．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
（1）求证：AN⊥平面PBM；
（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABM得PA⊥BM，结合BM⊥AM得出BM⊥平面PAM，于是BM⊥AN，又AN⊥PM，得出AN⊥平面PBM；
（2）由AN⊥平面PBM得AN⊥PB，又PB⊥AQ得出PB⊥平面ANQ，于是NQ⊥PB．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，
∴PA⊥BM，
∵AB是⊙O的直径，M在⊙O上，
∴BM⊥AM，
又AM，PA?平面PAM，PA∩AM=A，
∴BM⊥平面PAM，∵AN?平面PAM，
∴AN⊥BM，又AN⊥PM，PM，BM?平面PBM，PM∩BM=M，
∴AN⊥平面PBM．
（2）∵AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，
∴AN⊥PB，又AQ⊥PB，AN，AQ?平面ANQ，AN∩AQ=A，
∴PB⊥平面ANQ．∵NQ?平面ANQ，
∴PB⊥NQ．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，属于中档题．