Question

8．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱垂直于底面）的各顶点都在球O的球面上，且$AB=AC=BC=\sqrt{3}$若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积等于$\frac{9}{2}$，则球O的体积为$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 利用直三棱柱的几何性质得出：△ABC外接圆的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，根据球的几何性质得出外接球的半径R²=（d）²+（r）²=4，利用球的体积公式求解即可．

解答 解；∵$AB=AC=BC=\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=1，
∵S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\sqrt{3}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$h=$\frac{9}{2}$，h=2$\sqrt{3}$，
∵球心到截面的距离d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
∴外接球的半径R²=（$\sqrt{3}$）²+（1）²=4，R=2，
∴球O的体积为：$\frac{4π×{R}^{3}}{3}$=$\frac{32π}{3}$

故答案为：$\frac{32π}{3}$．

点评 本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力，利用图形转化为平面问题求解，结合体积公式求解即可．