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    设函数f（x）=
    sinx
    x
    （0＜x≤
    π
    2
    ）
    （1）设x＞0，y＞0，且x+y＜
    π
    2
    ，试比较f（x+y）与f（x）的大小．
    （2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由．
    ①对任意x∈（0，
    π
    2
    ]都有cosx＜f（x）＜1成立．
    ②对任意x∈（0，
    π
    3
    ）都有f（x）＜1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +
    x8
    9!
    -
    x10
    11!
    成立．
    ③若关于x的不等式f（x）＜k在（0，
    π
    2
    ]有解，则k的取值范围是（
    2
    π
    ，+∞）．
    考点：利用导数研究函数的单调性
    专题：导数的概念及应用,导数的综合应用
    分析：（1）求出函数f（x）=
    sinx
    x
    （0＜x≤
    π
    2
    ）的导函数，结合当0＜x＜
    π
    2
    时，f′（x）＜0，可得f（x+y）＜f（x）；
    （2）由当x→0时，
    sinx
    x
    →cosx，结合f（x）≤f（
    π
    2
    ），可判断①；根据1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +
    x8
    9!
    -
    x10
    11!
    ≈cosx，可判断②；根据不等式f（x）＜k在（0，
    π
    2
    ]有解，则k＞f（x）max，可判断③
    解答： 解：（1）∵f（x）=
    sinx
    x
    ，
    ∴f′（x）=
    cosx•x-sinx
    x2
    =
    x-tanx
    x2
    ，
    当0＜x＜
    π
    2
    时，x-tanx＜0恒成立，
    故当0＜x＜
    π
    2
    时，f′（x）＜0，
    故函数f（x）为减函数，
    ∵x＞0，y＞0，且x+y＜
    π
    2
    ，
    ∴0＜x＜x+y＜
    π
    2
    ，
    ∴f（x+y）＜f（x）
    （2）当x→0时，
    sinx
    x
    →cosx，由（1）得f（x）≤f（
    π
    2
    ）=
    2
    π
    ＜1，故①正确；
    1-
    x2
    3!
    +
    x4
    5!
    -
    x6
    7!
    +
    x8
    9!
    -
    x10
    11!
    ≈cosx，对任意x∈（0，
    π
    3
    ）都有f（x）＞cos，故②错误；
    若不等式f（x）＜k在（0，
    π
    2
    ]有解，则k＞f（x）max=
    2
    π
    ，故k的取值范围是（
    2
    π
    ，+∞），故③正确．
    点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用，涉及三角函数的泰勒展开式等高等数学的知识点，故难度较大，属于难题．
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    x2
    4
    +
    y2
    3
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    已知双曲线C：x2-
    y2
    2
    =1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点．
    （1）求
    PA1
    •
    PF2
    的最小值；
    （2）若直线l为圆O：x2+y2=2上动点Q（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，且与双曲线C交于不同的两个点A，B，证明△ABO为直角三角形．

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    设α为锐角，
    a
    =（cosα，sinα），
    b
    =（1，-1）且
    a
    •
    b
    =
    2
    		2
    3
    ，则sin（α+
    5π
    12
    ）=
     
    ．

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