Question

已知F₁，F₂是椭圆C

x2

4

+

y2

3

=1的左，右焦点，以线段F₁F₂为直径的圆与圆C关于直线x+y-2=0对称．
（l）求圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）关键是求出以线段F₁F₂为直径的圆的圆心关于直线x+y-2=0对称的点即圆C的圆心，半径是

|F1F2|

2

=1；
（2）切线、圆半径、点P与圆心的连线，他们构成的直角三角形，切线最小及点P到圆心的距离最小．

解答： 解：（1）由题意知，F₁（-1，0），F₂（1，0），线段F₁F₂的中点坐标为原点．
设点0关于直线x+y-2=0对称的点C坐标为（（x₀，y₀），则，

y0 x0 =1 x02 2 + y02 2 -2=0

，
解得

x0=2 y0=2

，即C（2，2），
半径为

|F1F2|

2

=1，
所以圆C的方程为：（x-2）²+（y-2）²=1；
（2）切线长：

|PC|2-1

，
当|PC|最小时，切线长取得最小值，
当PC垂直于x轴，及点P位于（2，0）处时，|PC|_min=2，
此时切线长取最小值

22-1

=

3

．

点评：本题主要考查圆的对称问题，圆的切线问题．