Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为4，点H在棱AA₁上，且HA₁=1．在侧面BCC₁B₁内作边长为1的正方形EFGC₁，P是侧面BCC₁B₁内一动点，且点P到平面CDD₁C₁距离等于线段PF的长．则当点P运动时，|HP|²的最小值是（　　）

• A、21
• B、22
• C、23
• D、25

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出HP²=HM²+MP²；
当MP最小时，HP²最小，利用空间直角坐标系求出MP²的最小值即可．

解答： 解：建立空间直角坐标系，如图所示，
过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，
则HM⊥PM，
∴HP²=HM²+MP²；
当MP最小时，HP²最小，
过P作PN⊥CC′，垂足为N，
设P（x，4，z），则
F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；
∵PN=PF，∴

(x-1)2+(z-3)2

=x，化简得2x-1=（z-3）²；
∴MP²=（x-4）²+（z-3）²=（x-4）²+2x-1=x²-6x+15≥6，
当x=3时，MP²取得最小值，此时HP²=HM²+MP²=4²+6=22为最小值．
故选：B．

点评：本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目．