Question

11．已知函数f（x）=（a-1）x+blnx，此函数在（1，f（1））处的切线为y=x-1．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数h（x）=e^x图象上存在一点M（x₀，h（x₀））处的切线为直线l，若直线l也是曲线y=f（x），x∈（1，+∞）的切线，试证明：实数x₀存在且唯一．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出${f}^{'}（x）=a-1+\frac{b}{x}$，由题意$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{'}（1）=a+b-1=1}\end{array}\right.$，从而求出f（x）=lnx，进而g（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，求出${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$，利用导数性质能求出函数g（x）的单调增区间．
（Ⅱ）由h（x）=e^x，得h′（x）=e^x，从而切线l的方程为y=${e}^{{x}_{0}}x-{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，设直线l与曲线y=f（x）相切于点（x₁，lnx₁），则直线l的方程为y=$\frac{1}{{x}_{1}}x+ln{x}_{1}-1$，推导出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{ln{x}_{1}=\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}}\end{array}\right.$，由此能证明实数x₀存在且唯一．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（a-1）x+blnx，
∴${f}^{'}（x）=a-1+\frac{b}{x}$，
∵此函数在（1，f（1））处的切线为y=x-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1=0}\\{{f}^{'}（1）=a+b-1=1}\end{array}\right.$，解得a=1，b=1，
∴f（x）=lnx，
∴g（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，
∴${g}^{'}（x）=\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$，
∵x＞0，且x≠1，∴g′（x）＞0，
∴函数g（x）的单调增区间为（0，1）和（1，+∞）．
证明：（Ⅱ）∵h（x）=e^x，∴h′（x）=e^x，
∴切线l的方程为$y-{e}^{{x}_{0}}$=${e}^{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，即y=${e}^{{x}_{0}}x-{e}^{{x}_{0}}-{x}_{0}{e}^{{x}_{0}}$，
设直线l与曲线y=f（x）相切于点（x₁，lnx₁），
∵$f（x）=lnx，{f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$，
∴直线l的方程为$y-ln{x}_{1}=\frac{1}{{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，即y=$\frac{1}{{x}_{1}}x+ln{x}_{1}-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{1}}}\\{{e}^{{x}_{0}}={x}_{0}{e}^{{x}_{0}}-ln{x}_{0}-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{1}}}\\{\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{{x}_{0}}{{x}_{1}}-ln{x}_{1}-1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-ln{x}_{0}}\\{ln{x}_{1}=\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}}\end{array}\right.$，
下面证明：在区间[1，+∞）上x₁存在，且唯一．
由（Ⅰ）知g（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在区间（1，+∞）上递增，
又g（x）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=-$\frac{2}{e-1}$＜0，
$g（{e}^{2}）=ln{e}^{2}-\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}$=$\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}$＞0，
结合零点存在定理，说明方程g（x）=0必在区间（e，e²）上有唯一的根，
这个根就是所求的唯一的x₁，
又∵x₀=-lnx₁，∴实数x₀存在且唯一．

点评 本题考查函数的增区间的求法，考查实数存在且唯一的证明，考查导数、切线方程、函数的单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．