Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，x∈R．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=-

a

x

．若至少存在一个x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）求出函数定义域，然后在定义域的前提下解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可求函数f（x）的单调区间；
（3）存在一个x₀∈[1，+∞）使得f（x₀）＞g（x₀），则ax₀＞lnx₀，等价于a＞

lnx0

x0

，令F（x）=

lnx

x

，等价于“当x∈[1，+∞）时，a＞F（x）_min”，最后利用导数求其最小值即可求出实数a的取值范围．

解答：解：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=a（1+

1

x2

）-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．   
（1）当a=2时，函数f（x）=2（x-

1

x

）-lnx，f′（x）=

2x2-x+2

x2

，
∵f（1）=0，f′（1）=3，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=3（x-1），即3x-y-3=0．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），令h（x）=2x²-x+2，
当a＞0时，△=1-4a²，
（ⅰ）若0＜a＜

1

2

，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得x＜

1- 1-4a2

2a

或x＞

1+ 1-4a2

2a

； 
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-4a2

2a

＜x＜

1+ 1-4a2

2a

．
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，

1- 1-4a2

2a

）和（

1+ 1-4a2

2a

，+∞），
单调递减区间为（

1- 1-4a2

2a

，

1+ 1-4a2

2a

）．  
（ⅱ）若a≥

1

2

，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增． 
（3））因为存在一个x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
则ax₀＞lnx₀，等价于a＞

lnx

x

，
令F（x）=

lnx

x

，等价于“当x∈[1，+∞）时，a＞F（x）_min”，
对F（x）求导，得F′（x）=

1-lnx

x2

，
∵当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，故此时F（x）∈[0，

1

e

]，
∵当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（e，+∞）上单调递减，又F（x）＞0，故此时F（x）∈（0，

1

e

），
综上，F（x）∈[0，

1

e

]，
∴F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．