Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，∠PAD=45°，E为PA的中点．
（1）求证：DE∥面PBC；
（2）求三棱锥E-PBC的体积．

Answer 1

分析 （1）过C作CG⊥AB与G，取PB的中点F，连结EF，CF．由勾股定理计算BG，得出CD$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AB\stackrel{∥}{=}EF$，于是四边形CDEF是平行四边形，得出DE∥CF，从而DE∥平面PBC；
（2）连结CE，BE，求出PD，证明CD⊥平面PAD，则V_E-PBC=V_P-ABCD-V_E-ABCD-V_C-PDE．

解答 （1）证明：过C作CG⊥AB与G，取PB的中点F，连结EF，CF．
∵AB∥CD，AD⊥AB，CG⊥AB，
∴四边形ADCG是矩形，∴CG=AD=8，AG=CD=6，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=6，
∴CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$．
∵E，F分别是PA，PB的中点，∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，又DE?平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD．
又CD⊥AD，AP∩PD=D，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
∵∠PAD=45°，∴PD=AD=8，
∵E是PA的中点，∴E到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{2}PD$=4．
S_△PDE=$\frac{1}{2}{S}_{△PAD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×8$=16．
∴V_C-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•CD$=$\frac{1}{3}×16×6$=32．
V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（6+12）×8×4$=96．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PD$=2V_E-ABCD=192．
∴V_E-PBC=V_P-ABCD-V_E-ABCD-V_C-PDE=192-96-32=64．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．