Question

9．己知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n²）-1，数列{b_n}满足b_n=f（b_n-1），且b₁=1．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）分类讨论求数列{a_n}的通项公式，由构造法可得{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求得；
（2）化简c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$=$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，从而利用错位相减法求数列的前n项和即可．

解答 解：（1）由题意知，S_n=f（n²）-1=2n²+1-1=2n²，
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
当n=1时也成立，
故a_n=4n-2；
∵b_n=f（b_n-1）=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），
故{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故b_n+1=2ⁿ，
故b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$=$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，设{c_n}的前n项和T_n，
故T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{6}{8}$+…+$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，
2T_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{6}{4}$+$\frac{10}{8}$+…+$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$，
故T_n=1+$\frac{4}{4}$+$\frac{4}{8}$+…+$\frac{4}{{2}^{n}}$-$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想及整体思想的应用，同时考查了构造法与错位相减法的应用．