Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n（n∈N^*）
求S₁、S₂、S₃的值，并求出S_n及数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 先写出S₁，将原式化简求得S_n，分别写出S₂、S₃，利用归纳推理写出S_n，利用数学归纳法证明，再求得a_n．

解答 解：当n=1时${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}$，
∵（S_n-1）²=a_nS_n，
$（{S}_{n}-1）^{2}=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）{S}_{n}$，
∴${S}_{n}=\frac{1}{2-{S}_{n-1}}$，
${S}_{2}=\frac{2}{3}$，${S}_{3}=\frac{3}{4}$，
猜想${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，${S}_{1}=\frac{1}{2}，{S}_{1}=\frac{n}{n+1}$猜想正确；
2°假设当n=k时，猜想正确，即${S}_{k}=\frac{k}{k+1}$，
那么，n=k+1时，由${S}_{k+1}=\frac{1}{2-{S}_{k}}$=$\frac{1}{2-\frac{k}{k+1}}$=$\frac{k+1}{k+2}$，猜想也成立，
综上知，${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$对一切自然数n均成立．
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴${S}_{n}=\frac{n}{n+1}$${a}_{n}=\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考察求数列的通项公式，和利用数学归纳法证明，属于中档题．