Question

【题目】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:

（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；

（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与A1C所成角的余弦值．

（2）求出平面A1BC的法向量，利用向量法能求出直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．

（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC．

以边AC的中点D为坐标原点，

平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，

直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系，

根据题中空间直角坐标系可知：

A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，），

∴=（2，2，0），=（0，1，﹣），

∴cos＜＞===，

设异面直线AB与A1C的所成角为α，则，

∴异面直线AB与A1C所成角的余弦值为．

（2）由（1）得：=（2，1，﹣），=（﹣2，0，0），

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），

∴，取z=1，则=（0，），

∴cos＜，＞===．

设直线AB与平面A1BC所成角为β，β∈（0，]，

则sinβ=|cos＜，＞|=．

故直线AB与平面A1BC所成角的正弦值为．