Question

4．已知椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦点为（2$\sqrt{2}$，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由右焦点为（2$\sqrt{2}$，0）则c=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，即可求得椭圆G的方程；
（2）设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，则中点坐标公式x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，由题意可知：PE⊥AB，PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得：m=2，即可求得直线AB的方程．

解答 解：（1）由椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由右焦点为（2$\sqrt{2}$，0）则c=2$\sqrt{2}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得：a=2$\sqrt{3}$，
又b²=a²-c²=4，
∴椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（2）设直线l的方程为y=x+m，设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中点为E（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²+6mx+3m²-12=0，①
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{3m}{2}$，
由中点坐标公式可知：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3m}{4}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{4}$，
∵AB是等腰△PAB的底边，
∴PE⊥AB．
∴PE的斜率k=$\frac{2-\frac{m}{4}}{-3+\frac{3m}{4}}$=-1，解得：m=2，
∴直线AB方程是：x-y+2=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，等腰三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．