Question

14．已知f（x）=sin（x+1）$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$cos（x+1）$\frac{π}{3}$，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -$\sqrt{3}$
• D． 0

Answer 1

分析 利用三用函数的性质得f（x）=2sin$\frac{πx}{3}$，从而得到函数f（x）的周期T=6，再由f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，且2011=335×6+1，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

解答 解：∵f（x）=sin（x+1）$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$cos（x+1）$\frac{π}{3}$，
=sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）
=2sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）
=2sin$\frac{πx}{3}$，
∴函数f（x）的周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{3}}$=6，
又f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0，
且2011=335×6+1，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=335×0+f（1）=f（1）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．