Question

19．若对任意x∈R，sin²x+2kcosx-2k-2＜0恒成立，则实数k的取值范围（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据同角的三角函数关系，利用换元法设cosx=t，t∈[-1，1]，原不等式化为t²-2kt+k+1＞0在[-1，1]上恒成立，分类讨论，建立不等式组，即可求出实数k的取值范围．

解答 解：不等式sin²x+2kcosx-2k-2＜0可化为cos²x-2kcosx+2k+1＞0；
设cosx=t，则t∈[-1，1]，
∴原不等式化为t²-2kt+2k+1＞0在[-1，1]上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤k≤1}\\{△＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{k＜-1}\\{1+2k+2k+1＞0}\end{array}\right.$②或$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{1-2k+2k+1＞0}\end{array}\right.$③；
解①得1-$\sqrt{2}$＜k≤1，
解②得是空集∅，
解③得k＞1；
∴实数k的取值范围是（1-$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案为：（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，解题的关键是转化为二次不等式恒成立问题，是综合性题目．