Question

如图，分别是正三棱柱的棱、的中点，且棱，.

（1）求证：平面；

（2）在棱上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由。

 

 

Answer 1

（1）见解析（2）不存在

【解析】

试题分析：（1）连结交于F，连结DF，EF，因为E是的中点，所以EF平行且等于的一半，又因为D是的中点，所以，所以是平行四边形，所以DF∥A1E，所以平面；（2）在正三棱柱中建立空间直角坐标系，假设在AA1上存在M满足条件，求出，设=()，用表示出M点坐标，利用向量法求出二面角M-BC1-B1的大小的余弦值，根据题意列出关于的方程，若能解出则存在，否则不存在.

试题解析：【法一】（1）在线段上取中点，连结、.

则，且，∴是平行四边形 3′

∴，又平面，平面，

∴平面. 5′

（2）由，，得平面.

过点作于，连结.

则为二面角的平面角 8′

在中，由，得

边上的高为，∴，又，

∴，∴. 11′

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点． 12′

【法二】建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、.

∴、、、、、

、. 4′

（1）∵且平面，

∴平面. 5′

（2）取，则，.

∴，，即为面的一个法向量 7′

同理，取，则，.

∴，，为平面的一个法向量 9′

，∴二面角为．

又∵，∴二面角大于． 11′

∴在棱上时，二面角总大于.

故棱上不存在使二面角的大小为的点． 12′

考点：空间线面平行的证明，二面角的计算，空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力