Question

13．若${（x+\frac{1}{2x}）^n}$二项展开式中的前三项的系数成等差数列，则常数项为$\frac{35}{8}$．（用数字作答）

Answer 1

分析 由题意利用等差数列的性质求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项．

解答 解：∵${（x+\frac{1}{2x}）^n}$二项展开式中的前三项的系数分别为${C}_{n}^{0}$、${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$、${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$，
若${（x+\frac{1}{2x}）^n}$二项展开式中的前三项的系数成等差数列，则2•${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$=${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$，
求得n=8，或 n=1（舍去），∴展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{1}{2}）}^{r}$•x^8-2r，
令8-2r=0，求得r=4，可得常数项为${C}_{8}^{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{4}$=$\frac{35}{8}$，
故答案为：$\frac{35}{8}$．

点评 本题主要考查等差数列的性质，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．