Question

13．设M、N分别是直线1₁：kx+y-k-4=0与直线l₂：x-ky+2=0所过的两个定点，Q为线段MN的中点，P为直线1₁与直线l₂的交点，则|PQ|=（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 法一：求出M（1，4），N（-2，0），从而Q（-$\frac{1}{2}$，2），再求出P（$\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}$），利用两点间距离公式能求出|PQ|的值．
法二：求出M（1，4），N（-2，0），从而Q（-$\frac{1}{2}$，2）∵P为直线1₁与直线l₂的交点，再由直线1₁：kx+y-k-4=0与直线l₂：x-ky+2=0垂直，
直角三角形斜边的中线为斜边的一半，能求出|PQ|．

解答 解法一：M、N分别是直线1₁：kx+y-k-4=0与直线l₂：x-ky+2=0所过的两个定点，
直线1₁：kx+y-k-4=0整理为（x-1）k+（y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，得M（1，4），
直线l₂：x-ky+2=0中，由$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，得N（-2，0），
∵Q为线段MN的中点，∴Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∵P为直线1₁与直线l₂的交点，
∴联立$\left\{\begin{array}{l}{kx+y-k-4=0}\\{x-ky+2=0}\end{array}\right.$，得P（$\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}$，$\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}$），
∴|PQ|=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}+4k-2}{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3k+4}{{k}^{2}+1}-2）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
解法二：M、N分别是直线1₁：kx+y-k-4=0与直线l₂：x-ky+2=0所过的两个定点，
直线1₁：kx+y-k-4=0整理为（x-1）k+（y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{y-4=0}\end{array}\right.$，得M（1，4），
直线l₂：x-ky+2=0中，由$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，得N（-2，0），
∵Q为线段MN的中点，∴Q（-$\frac{1}{2}$，2），
∵P为直线1₁与直线l₂的交点，
直线1₁：kx+y-k-4=0与直线l₂：x-ky+2=0垂直，
直角三角形斜边的中线为斜边的一半，
∴|PQ|=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{1}{2}\sqrt{（1+2）^{2}+（4-0）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查两点间距离的求法，考查直线方程、中点坐标公式、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．