Question

△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量x=（2sin

A

2

，-

3

），y=（2cos²

A

4

-1，cosA），且x⊥y．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

7

且△ABC的面积为

3 3

2

，求b+c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合二倍角公式和同角的关系式，即可得到角A；
（2）运用面积公式和余弦定理，结合完全平方公式，即可得到所求值．

解答： 解：（1）由于向量

x

=（2sin

A

2

，-

3

），

y

=（2cos²

A

4

-1，cosA），且

x

⊥

y

，
则

x

•

y

=0，即为2sin

A

2

（2cos²

A

4

-1）-

3

cosA=0，
即有2sin

A

2

cos

A

2

-

3

cosA=0，即sinA=

3

cosA，即tanA=

3

，
0＜A＜π，则A=

π

3

；
（2）△ABC的面积为

3 3

2

，则S=

1

2

bcsinA=

3 3

2

，
即有

3

2

bc=3

3

，即有bc=6，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA，
即7=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-18，
即有b+c=5．

点评：本题考查向量垂直的条件和二倍角公式及同角的关系式的运用，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．