Question

已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=

1

2

，则x²sinθ-y²cosθ=1表示（　　）

• A、焦点在x轴上的椭圆
• B、焦点在x轴上的双曲线
• C、焦点在y轴上的椭圆
• D、焦点在y轴上的双曲线

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：计算题,三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．

解答： 解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=

1

2

，
则平方可得，1+2sinθcosθ=

1

4

，
则sinθcosθ=-

3

8

＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，
x²sinθ-y²cosθ=1即为

x2

1 sinθ

+

y2

- 1 cosθ

=1，
由于

1

sinθ

-

1

-cosθ

=

sinθ+cosθ

sinθcosθ

＜0，
则

1

sinθ

＜

1

-cosθ

，
则方程表示焦点在y轴上的椭圆．
故选C．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．