Question

5．在平面直角坐标系xOy中，直线3x-y+$\sqrt{5}$=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为$\sqrt{14}$
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点O到直线3x-y+$\sqrt{5}$=0的距离d，求出圆O的半径r，写出圆O的方程；
（2）写出直线l的方程，由d=r以及基本不等式求出DE²取最小值时对应的方程；
（3）设出点M、P，根据对称性写出点N，利用圆的方程表示出直线MP、
NP与x轴的交点坐标，得出m、n的值，计算mn即可．

解答 解：（1）因为点O到直线3x-y+$\sqrt{5}$=0的距离为
d=$\frac{|3×0-1×0+\sqrt{5}|}{\sqrt{{3}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
所以圆O的半径为r=$\sqrt{{（\frac{1}{\sqrt{2}}）}^{2}{+（\frac{\sqrt{14}}{2}）}^{2}}$=2；…（2分）
故圆O的方程为x²+y²=4；…（4分）
（2）设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
即bx+ay-ab=0；
由已知$\frac{|0+0-ab|}{\sqrt{{b}^{2}{+a}^{2}}}$=2，
即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{4}$；…（6分）
所以DE²=a²+b²
=4（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$）
=4（2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥16；   …（9分）
当且仅当a=b=2$\sqrt{2}$时取等号，
此时直线l的方程为x+y-2$\sqrt{2}$=0；…（10分）
（3）设点M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），
则N（x₁，-y₁），且${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=4${{x}_{2}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$=4，
直线MP与x轴交点为（$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$，0），
则m=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{-y}_{1}}$；  …（12分）
直线NP与x轴交点为（$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$，0），
则n=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$．…（14分）
所以mn=$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{-x}_{2}y}_{1}}{{y}_{1}{-y}_{2}}$•$\frac{{{x}_{1}y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{2}{+y}_{1}}$
=$\frac{{{{{x}_{1}}^{2}y}_{2}}^{2}{{{{-x}_{2}}^{2}}_{{y}_{1}}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$
=$\frac{（4{{-y}_{1}}^{2}{{）y}_{2}}^{2}-（4{{-y}_{2}}^{2}{{）y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}{{-y}_{1}}^{2}}$=4，
故mn为定值4．…（16分）

点评 本题考查了直线与圆位置关系的应用问题，也考查了点到直线距离的应用问题以及求最值的应用问题，是综合性题目．