Question

16．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=$\frac{9}{2}$求a₁与q．

Answer 1

分析 由题意可知当q≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•{q}^{2}={a}_{3}}\\{\frac{{a}_{1}-{a}_{3}q}{1-q}={S}_{3}}\end{array}\right.$，代入即可求得a₁和q的值，当q=1时，则a₁=a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，满足，故当q=1时，成立，即可求得a₁与q．

解答 解：由题意可知：等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
由题意可知：当q≠1时，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•{q}^{2}={a}_{3}}\\{\frac{{a}_{1}-{a}_{3}q}{1-q}={S}_{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{a}_{1}-\frac{3}{2}q}{1-q}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
整理得：2q³-3q²+1=0，即（q-1）²（2q+1）=0，
解得：q=1（舍去）或q=-$\frac{1}{2}$，
∴当q=-$\frac{1}{2}$，解得：a₁=6，
当q=1时，则a₁=a₃=$\frac{3}{2}$，S₃=3a₁=$\frac{9}{2}$，满足，故当q=1时，成立，
∴a₁=$\frac{3}{2}$，q=1，或q=-$\frac{1}{2}$，a₁=6．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式的应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．