Question

已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），令a_n=

1

f(n+1)+f(n)

，n∈N^*．记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃=（　　）

• A、

  2012

  -1
• B、

  2013

  -1
• C、

  2014

  -1
• D、

  2014

  +1

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n=

n+1

-

n

，n∈N^*．由此利用裂项求和法能求出S₂₀₁₃．

解答： 解：∵函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），
∴4^a=2，解得a=

1

2

，∴f（x）=

x

，
∴a_n=

1

f(n+1)+f(n)

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，n∈N^*．
∴S₂₀₁₃=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2014

-

2013

=

2014

-1．
故选：C．

点评：本题考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．