Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），g（x）=-

a

x

，若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，则实数a的范围为（　　）

• A、[1，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考点：特称命题

专题：函数的性质及应用

分析：将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：若若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
即f（x）-g（x）＞0在x∈[1，e]，时有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx+

a

x

=ax-2lnx＞0有解，x∈[1，e]，
即a＞

2lnx

x

，
则F′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
当x∈[1，e]时，F′（x）=

2(1-lnx)

x2

≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
即F_min（x）=F（1）=0，
因此a＞0即可．
故选：D．

点评：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．