Question

15．命题p：“方程$\frac{x^2}{m}$+$\frac{y^2}{2}$=1是焦点在x轴上的椭圆”；命题q：“已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$x³-2mx²+（4m-3）x，方程f'（x）=0没有实数根”．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p，利用椭圆的性质可得m的范围．对于命题q：利用导数的运算法则、一元二次方程与判别式的关系即可得出m的取值范围．对于“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，则p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：∵方程$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{2}=1$是焦点在x轴上的椭圆，∴m＞2，∴若p为真命题，则m＞2．
又∵f'（x）=4x²-4mx+（4m-3）=0没有实数根，∴△=16m²-64m+48＜0，解得1＜m＜3，
∴若q为真命题，则1＜m＜3，
又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题，
∴$\left\{\begin{array}{l}m＞2\\ m≤1，或m≥3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m≤2\\ 1＜m＜3\end{array}\right.$，
∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、椭圆的性质、导数的运算法则、一元二次方程与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．