Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣ ． （Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ， 证明x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ， f'（x）=0x=1，当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．
所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增
（Ⅱ）证明： ，f（0）=1，不妨设x1＜x2 ，
又由（Ⅰ）可知0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，
又函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，
所以x1+x2＞2x1＞2﹣x2等价于f（x1）＜f（2﹣x2），
即0=f（x1）＜f（2﹣x2）．
又 ，而 ，
所以 ，
设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 则g'（x）=（1﹣x）（e2﹣x﹣ex）．
当x∈（1，+∞）时g'（x）＞0，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＞0．
而 恒成立，
所以当x＞1时， ，
故x1+x2＞2．
【解析】（Ⅰ）求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，推出函数的单调性即可．（Ⅱ）不妨设x1＜x2 ， 推出0＜x1＜1，x2＞1.2﹣x2＜1，利用函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，得到x1＞2﹣x2 ， 转化为：0=f（x1）＜f（2﹣x2）．求出 ，构造函数设g（x）=xe2﹣x﹣（2﹣x）ex ， 再利用形式的导数，求出函数的最值，转化求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．