Question

已知函数f（x）=-x³-1，用函数单调性的定义证明：f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题

分析：根据题意，对任意实数0＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=x₂³-x₁³＞0，利用函数单调性的定义可知函数随着x的递增而递减，则函数f（x）为减函数，对任意实数x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=x₂³-x₁³＜0，则函数为减函数，因而可知函数为减函数．

解答： 解：任意实数0＜x₁＜x₂时，
f（x₁）-f（x₂）=x₂³-x₁³＞0，（3分）
则函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．（4分）
任意实数x₁＜x₂＜0时，
f（x₁）-f（x₂）=x₂³-x₁³＞0，（7分）
则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减．（8分）
故函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．（10分）

点评：此题主要考查函数单调性定义的证明方法．