Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，如图，过F₂与双曲线一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点P，若∠F₁PF₂为钝角，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A、（2，+∞）
• B、（3，+∞）
• C、（1，

  2

  ）
• D、（1，2）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定M，F₁，F₂的坐标，进而由

PF1

•

PF2

＜0，结合abc的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．

解答： 解：设直线方程为y=

b

a

（x-c），与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（

c

2

，-

bc

2a

）
∵F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴

PF1

=（-

3c

2

，

bc

2a

），

PF2

=（

c

2

，

bc

2a

），
由题意可得

PF1

•

PF2

＜0，即

b2c2

4a2

-

3c2

4

＜0，
化简可得b²＜3a²，即c²-a²＜3a²，
故可得c²＜4a²，c＜2a，可得e=

c

a

＜2，
∵e＞1，∴1＜e＜2
故选：D．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生解方程组的能力，属中档题．