Question

已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若恒成立，证明：当时，.

Answer 1

（Ⅰ）当时，在上递增；当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查分类讨论思想和综合分析问题和解决问题的能力.第一问是利用导数研究函数的单调性，但是题中有参数，需对参数进行讨论，可以转化为含参一元一次不等式的解法；第二问先是恒成立问题，通过第一问的单调性对进行讨论，通过求函数的最大值求出符合题意的，表达式确定后，再利用函数的单调性的定义，作差，放缩法证明不等式.
试题解析：（Ⅰ）．
若，，在上递增；
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．                  5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上递增，
又，故不恒成立．
若，当时，递减，，不合题意．
若，当时，递增，，不合题意．
若，在上递增，在上递减，
符合题意，
故，且（当且仅当时取“”）．              8分
当时，
，
所以．                     12分
考点：1.利用导数求函数的单调性；2.恒成立问题；3.分类讨论思想和放缩法的应用.