Question

2．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设折痕所在直线的斜率为k．
（1）试写出折痕所在直线的方程；
（2）写出折痕的长d关于斜率k的函数关系．

Answer 1

分析 （1）因为折叠过程中，A点落在线段DC上，特别的如果折叠后AD重合，这时候折痕所在直线的斜率为0，若AD不重合，这时候折痕所在直线的斜率不为0，然后根据A点和对折后的对应点关于直线折痕对称，我们可以求出直线方程．
（2）同（1）的分析，我们要对痕所在直线的斜率分类讨论，斜率为0时，易得结论，斜率不为0时，我们又要分折痕所在直线与矩形两边的交点在左右两边、上下两边、左下两边三种情况讨论，本小题分类情况比较多，故解答要细心！

解答 解：（1）
当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=$\frac{1}{2}$．
当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G（a，1）（0＜a≤2），
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有k_OG•k=-1，即$\frac{1}{a}$•k=-1，∴a=-k．
故G点坐标为G（-k，1）（-2≤k＜0）．
从而折痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为M（-$\frac{k}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
折痕所在的直线方程y-$\frac{1}{2}$=k（x+$\frac{k}{2}$），即y=kx+$\frac{{k}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$（-2≤k＜0）．
由（1）、（2）得折痕所在的直线方程为：
k=0时，y=$\frac{1}{2}$；k≠0时y=kx+$\frac{{k}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$（-2≤k＜0）．
（2）当k=0时，折痕的长为2．
当k≠0时，
①如下图，折痕所在的直线与边AD、BC的交点坐标为N（0，$\frac{{k}^{2}+1}{2}$），P（2，2k+$\frac{{k}^{2}+1}{2}$）．

这时，-2+$\sqrt{3}$＜k＜0，y=PN²=4+4k²=4（1+k²）∈（4，16（2-$\sqrt{3}$））．
②如下图，折痕所在的直线与边AD、AB的交点坐标为N（0，$\frac{{k}^{2}+1}{2}$），P（-$\frac{{k}^{2}+1}{2k}$，0）．

这时，-1≤k≤-2+$\sqrt{3}$，y=${（\frac{{k}^{2}+1}{2}）}^{2}$+${（-\frac{{k}^{2}+1}{2k}）}^{2}$．
y′=$\frac{{{（k}^{2}+1）}^{2}•（{2k}^{2}-1）}{{2k}^{3}}$，令y′=0，可得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

当x=-1时，y=2；
当x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y=$\frac{27}{16}$；当x=-2+$\sqrt{3}$时，y=16（2-$\sqrt{3}$），
∴y∈[$\frac{27}{16}$，16（2-$\sqrt{3}$）]
③如下图，折痕所在的直线与边CD、AB的交点坐标为N（$\frac{1{-k}^{2}}{2k}$，1），P（-$\frac{{k}^{2}+1}{2k}$，0）．

这时，-2≤k＜-1，y=PN²=${（\frac{1}{k}）}^{2}$+1∈[$\frac{5}{4}$，2）．
综上述，y_max=16（2-$\sqrt{3}$），$\sqrt{16（2-\sqrt{3}）}$，
所以折痕的长度的最大值为 $\sqrt{16（2-\sqrt{3}）}$=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．

点评 分类讨论思想是中学的四大数学思想之一，利用分类讨论思想一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养．但在针对本题的解答中，要注意分析所有的可能情况，并要注意不重分，不漏分，属于中档题．