Question

二项式（3

3	x

+

1

x

）ⁿ的展开式中的各项系数和为P，所有二项式系数和为Q，若P+Q=272，求展开式中的常数项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：由条件求得P、Q，再根据P+Q=272，求得n=4，可得展开式的通项公式，再令通项公式中x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项．

解答： 解：在二项式（3

3	x

+

1

x

）ⁿ的展开式中，令x=1，可得各项系数和为 P=4ⁿ，
所有二项式系数和为Q=2ⁿ，故由P+Q=272，可得（2ⁿ）²+2ⁿ-272=0，即n=4．
∵通项Tr+1=

C

r 4

34-rx

4-4r

3

，∴4-4r=0，即r=1，∴常数项为108．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题．