Question

已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+

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，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD，CE的中点，现将△ADE沿AE折叠使二面 角D-AE-C的平面角大小为π-arctan2．
（1）求证：FG∥平面BCD；
（2）求异面直线GF与BD所成的角；
（3）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间向量及应用

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明FG∥平面BCD；
（2）根据异面直线所成角的定义即可求异面直线GF与BD所成的角；
（3）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A-BD-C的大小．

解答： 解（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH，又G为AD中点，
∴GH∥BD，GH?平面BCD，BD?平面BCD，
∴GH∥面BCD，
同理可证  FH∥BC，FH∥平面BCD，
∴平面FHG∥平面BCD，GF?平面FHG，
∴GF∥平面BCD
（2）延长CE，过D作DO垂直直线EC于O，
易证DO⊥平面ABCE，AE⊥EC，AE⊥DE，
二面角D-AE-C的平面角大小为π-arctan2．
∴tan∠DEO=2，∵DE=

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，∴OE=1，DO=2
以O为原点，

OC

为y轴正方向建立坐标系O-xyz （图略）
则D（0，0，2），A（2，1，0），E（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
H（2，

3

2

，0），G（1，

1

2

，1），F（0，

3

2

，0）

GH

=(1，1，-1)，

GF

=(-1，1，-1)cos＜

GH

，

GF

＞=

GH • GF

| GH |•| GF |

=

1

3

∴异面直线GF与BD所成的角为arccos

1

3

（3）取DC中点P，易证OP⊥平面BCD，所以面BCD一个法向量为

OP

=(0，1，1)

AB

=（0，1，0），

BD

=（-2，-2，2），
设平面BDR的法向量为

n

=(x，y，z)则

-2x-2y+2z=0 y=0

，
取x=1，得y=0，z=1，得平面BDR的一个法向量为

n1

=(1，0，1)
∴cos＜

n1

，

OP

＞=

n1 • OP

| n1 |•| OP |

=

1

2

，
∴二面角A-BD-C的大小为120°．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及异面直线和二面角的求解，综合考查学生的计算能力．