Question

若函数f（x）=（1+cosx）¹⁰+（1-cosx）¹⁰，x∈[0，π]，则其最大值等于（　　）

• A、2048
• B、512
• C、2
• D、1024

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质,二项式定理

分析：根据二项式定理化简函数f（x）的解析式，再由余弦函数的性质和组合数公式求出函数f（x）的最大值．

解答： 解：按cosx的升幂排列，(1+cosx)10=1+

C

1 10

cosx+

C

2 10

cos2x+…+

C

10 10

cos10x，
(1-cosx)10=1-

C

1 10

cosx+

C

2 10

cos2x-…+

C

10 10

cos10x
两者相加时，cosx的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以f（x）=2[1+

C

2 10

cos2x+

C

4 10

cos4x+

C

6 10

cos6x+

C

8 10

cos8x+

C

10 10

cos10x]
又x∈[0，π]，则cosx偶数次幂的最大值为1，
所以f（x）最大值为：2[1+

C

2 10

+

C

4 10

+

C

6 10

+

C

8 10

+

C

10 10

]（1）
又

C

6 10

=

C

4 10

，

C

8 10

=

C

2 10

，

C

10 10

=1，
所以（1）式=4〔1+

C

2 10

+

C

4 10

〕=4〔1+

10×9

2

+

10×9×8×7

4×3×2

〕=1024，
故选：D．

点评：本题考查了余弦函数的性质，组合数公式，以及二项式定理的综合应用，属于难题．