Question

设向量

OP

=（cosθ，sinθ），其中0≤θ≤

π

2

，

OQ

=（

3

，1）
（1）若|

PQ

|=

5

，求tanθ的值；
（2）求△POQ面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理

专题：平面向量及应用

分析：（1）求出

PQ

以及模用θ的三角函数表示，然后展开变形求tanθ；
（2）利用三角形的面积公式得到共有θ的正弦解析式，求最大值．

解答： 解：（1）由题意，得 

PQ

=

OQ

-

OP

=（

3

-cosθ，-1-sinθ），
|

PQ

|2═（

3

-cosθ）²+（-1-sinθ）²=5-2

3

cosθ+2sinθ=5，
所以tanθ=

3

     …（6分）
（2）因为0≤θ≤

π

2

，S_△POQ=

1

2

×2×1×sin（θ+

π

6

）=sin（θ+

π

6

），
所以当θ=

π

3

时，S_△POQ最大值是1，…（12分）

点评：本题考查了向量的加减法的左边运算以及三角形面积公式、正弦函数性质的运用．