Question

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，f（x）＜ax²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；由导数的正负讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）化f（x）＜ax²为ax²-ax-lnx＞0，即化为a＞

lnx

x2-x

，令F（x）=

lnx

x2-x

，利用导数讨论函数的单调性，再由极限求之．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

；
①当a≥0时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
②当a＜0时，x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0，
x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
故函数f（x）的单调增区间为（0，-

1

a

），
单调减区间为（-

1

a

，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＜ax²可化为ax²-ax-lnx＞0，
可化为a＞

lnx

x2-x

令F（x）=

lnx

x2-x

，
F′（x）=

1 x (x2-x)-(2x-1)lnx

(x2-x)2

=

x-1-2xlnx+lnx

(x2-x)2

；
令G（x）=x+lnx-2xlnx-1，
则G′（x）=1+

1

x

-2lnx-2x

1

x

=

1

x

-2lnx-1；
G″（x）=-

1

x2

-2

1

x

=-

1+2x

x2

；
∵x＞1，故G″（x）＜0，
故G′（x）＜G′（1）=0，
故G（x）＜G（1）=1-1=0，
故F′（x）＜0；
故F（x）=

lnx

x2-x

在（1，+∞）上是减函数，
而

lim

x→1

F（x）=

lim

x→1

lnx

x2-x

=

lim

x→1

1 x

2x-1

=

lim

x→1

1

x(2x-1)

=1；
故a≥1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了恒成立问题及二阶求导问题，属于难题．