Question

已知函数f（x）=ax³+（a-1）x²+（a-2）x+b的图象关于原点对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-λx在（-1，0）上是增函数，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）根据函数f（x）的图象关于原点对称，求出b、a的值即可；
（2）求出g（x）的导数g′（x），令g′（x）在（-1，0）上大于0，求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax³+（a-1）x²+（a-2）x+b的图象关于原点对称，
∴f（0）=0，∴b=0；
又∵f（-x）=-f（x），
∴a-1=0，解得a=1；
∴函数f（x）=x³-x；
（2）∵g（x）=f（x）-λx=x³-x-λx，
∴g′（x）=3x²-1-λ；
又∵g（x）在（-1，0）上是增函数时，
∴g（0）＞0，
即-1-λ＞0，
解得λ＜-1；
∴λ的取值范围是{λ|λ＜-1}．

点评：本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，是中档题．