Question

【题目】已知函数f(x)＝＋aln x(a≠0，a∈R)．

(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；

(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝1时，f(x)有极小值为1；y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

（2）a∈∪(e，＋∞)．

【解析】试题分析：（1）求函数 的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；
（2）若在区间 上存在一点 ，使得 成立，其充要条件是在区间上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区上的最小值，先求出导函数 ，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

试题解析：

(1)当a＝1时，f′(x)＝－＋＝.

令f′(x)＝0，得x＝1，

又y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，

由f′(x)<0，得0<x<1；由f′(x)>0，得x>1.

所以x＝1时，f(x)有极小值为1.

y＝f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．

(2)f′(x)＝－＋＝，且a≠0.

令f′(x)＝0，得x＝.

若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，

即y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.

当a<0时，f′(x)<0对x∈(0，e]恒成立，即y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减，

故y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a，由＋a<0，得a<－，即a∈.

当a>0时，

①若e≤，即0<a≤，则f′(x)≤0对x∈(0，e]恒成立，

所以y＝f(x)在区间(0，e]上单调递减，

则y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值为f(e)＝＋aln e＝＋a>0，显然，y＝f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．

②若0<<e，即a>，则有

x
f′(x)	－	0	＋
f(x)	↓	极小值	↓

所以f(x)在区间(0，e]上的最小值为f＝a＋aln，

由f＝a＋aln＝a(1－ln a)<0，得

1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞)．

综上可知，a∈∪(e，＋∞)．