Question

如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．
（1）当E为线段BC中点，求证：NC∥平面AEF；
（2）求证：平面AEF⊥平面BCMN；
（3）求平面AMF与平面ABCD所成（锐二面角）角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得EF∥NC，由此能证明NC∥平面AEF．
（2）由已知得AD⊥NA，AD⊥AB，从而AD⊥平面NAB，进而BC⊥AF，又AF⊥NB，从而AF⊥平面BCMN，由此能证明平面AEF⊥平面BCMN．
（3）由DA，DC，DM两两垂直，以D为原点，建立空间直角系，求出平面AMF的法向量和平面ABCD的法向量，由此利用向量法能求出平面AMF与平面ABCD所成（锐二面角）角的余弦值．

解答： （1）证明：∵F为线段BN的中点，E为线段BC上的中点，
∴EF∥NC，又NC?平面AEF，EF?平面AEF，
∴NC∥平面AEF．
（2）证明：∵四边形ABCD与四边形ADMN都是正方形，
∴AD⊥NA，AD⊥AB，
NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，
又AF?NAB，∴AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，
又AD∥BC，∴BC⊥AF，
由题意NA=AB，F为线段NB的中点，
∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，
又AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．
（3）解：由题设知AN⊥AD，AN∥DM，DC⊥AD，
又AN⊥AB，AB∩AD=A，∴AN⊥平面ABCD，MD⊥平面ABCD，
∴DA，DC，DM两两垂直，
故以D为原点，建立空间直角系，
设AB=2，平面AMF的法向量为

n

=（x，y，z），
则A（2，0，0），M（0，0，2），F（2，1，1），
∴

AM

=(-2，0，2)，

AF

=（0，1，1），
由

n • AM =-2x+2z=0 n • AF =y+z=0

，取z=1，得

n

=（1，-1，1），
由题意平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

3

=

3

3

，
∴平面AMF与平面ABCD所成（锐二面角）角的余弦值为

3

3

．

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．