Question

已知函数f（x）=x²+xsinx+cosx．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，求a与b的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由已知中函数的解析式，求导后判断函数的单调性，进而可得f（x）的最小值；
（2）若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，则f′（a）=0，b=f（a），进而可得a与b的值．

解答： 解：（1）由f（x）=x²+xsinx+cosx，
得f′（x）=2x+sinx+xcosx-sinx=x（2+cosx）．
令f′（x）=0，得x=0．
列表如下：
 
∴函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增，
∴f（0）=1是f（x）的最小值；
（2）∵曲线y=f（x）在点（a，f（a））处与直线y=b相切，
∴f′（a）=a（2+cosa）=0，b=f（a），
解得a=0，b=f（0）=1．

点评：本题考查的知识点是导数在最大值、最小值问题中的应用，导数法研究曲线的切线，是导数较为综合的应用，难度中档．