Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：①f（1）=1，②?x∈R，f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，则f（2013）=

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题

分析：首先根据f（x+1）≤f（x）+1，运用赋值法求出f（x+5）≤f（x）+5，再由f（x+5）≥f（x）+5，由两边夹法则得到f（x+5）=f（x）+5，从而推出f（2013）=f（3）+2010，求出f（3）即可．运用赋值法和两边夹法则，求出f（5），f（0），再用赋值法和两边夹法则求出f（3）=3．

解答： 解：∵定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）≤f（x）+1，
∴f（x+2）≤f（x+1）+1，即f（x+2）≤f（x）+2，
∴f（x+4）≤f（x+2）+2，即f（x+4）≤f（x）+4，
∴f（x+5）≤f（x+1）+1，即f（x+5）≤f（x）+5，
∵?x∈R，f（x+5）≥f（x）+5，
∴f（x+5）=f（x）+5，
∵f（x+4）≤f（x）+4，∴f（5）≤5①，
∵f（x+1）≤f（x）+1，f（1）=1，
∴f（1）≤f（0）+1即f（0）≥0，
又f（5）=f（0）+5，则f（5）≥5②，
由①②得：f（5）=5，f（0）=0，
又f（3）≤f（1）+2即f（3）≤3③，
又f（x+1）≤f（x）+1得f（0）≤f（-1）+1，即f（-1）≥-1，
又f（x+5）≥f（x）+5得f（3）≥f（-2）+5，
又由f（x+1）≤f（x）+1得f（-2）≥f（-1）-1，
∴f（-2）≥-2，即有f（3）≥3④，
∴由③④得f（3）=3，
∴f（2013）=f（402×5+3）=f（3）+402×5=3+2010=2013，
故答案为：2013．

点评：本题主要考查解决抽象函数的函数值的常用方法：赋值法，正确赋值是解题的关键，同时考查两边夹法则，即a≥b且b≥a，则a=b，本题推理繁杂，要求高，属于难题．