Question

如图长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
（1）求BC₁与面ACC₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角C₁-BD-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）根据线面角的定义即可求BC₁与面ACC₁A₁所成角的大小；
（2）根据二面角的定义，求出二面角的平面角，根据三角形的边角关系，即可求二面角C₁-BD-C的大小．

解答： 解：（1）∵AB=AD=2

3

，
∴底面ABCD是正方形，连结AC交BD于O，
则BD⊥AC，
则BD⊥面ACC₁A₁，
则∠BC₁O是BC₁与面ACC₁A₁所成的角，
∵AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
∴AC=2

6

，OC=OB=

6

，BC₁=

14

，
则sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

6

14

=

21

7

．
则∠BC₁O=arcsin

21

7

．
即BC₁与面ACC₁A₁所成角的大小为arcsin

21

7

．
（2）∵AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
∴DC₁=BC₁=

14

，
则△DC₁B是等腰三角形，则OC₁⊥BD，
即∠C₁OC为二面角C₁-BD-C的平面角，
则tan∠C₁OC=

CC1

OC

=

2

6

=

3

3

，
即∠C₁OC=

π

6

，
即二面角C₁-BD-C的大小为

π

6

．

点评：本题主要考查直线和平面所成的角以及二面角的大小，根据定义求出相应的平面角是解决本题的关键．