Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求a₁，a₂；并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

anan+1an+2

=k（

1

anan+1

-

1

an+1an+2

），求k，
（3）证明数列{b_n}的前n项和T_n＜

1

60

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得Sn=n2+2n，n∈N*，由此推导出a₁=S₁=3，a₂=5，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得b_n=

1

(2n+1)(2n+3)(2n+5)

=

1

4

[

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]，由此能求出k．
（3）利用裂项求和法求出T_n=

1

4

[

1

3×5

-

1

(2n+3)(2n+5)

]=

1

60

-

1

4(2n+3)(2n+5)

，由此能证明T_n＜

1

60

．

解答： （1）解：∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
∴Sn=n2+2n，n∈N*，
∴a₁=S₁=3，（2分）
又a1+a2=S2=22+2×2=8，∴a₂=5．（4分）
由（1）知，Sn=n2+2n，n∈N*，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，（6分）
由（1）知，a₁=3=2×1+1满足上式，（7分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．（8分）
（2）解：由（1）得b_n=

1

(2n+1)(2n+3)(2n+5)

=

1

4

[

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]，
∵b_n=

1

anan+1an+2

=k（

1

anan+1

-

1

an+1an+2

），
∴k=

1

4

．
（3）证明：T_n=

1

4

[

1

3×5

-

1

5×7

+

1

5×7

-

1

7×9

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]（12分）
=

1

4

[

1

3×5

-

1

(2n+3)(2n+5)

]
=

1

60

-

1

4(2n+3)(2n+5)

＜

1

60

．
∴T_n＜

1

60

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．